对称型和晶体的对称分类

不同晶体中存在的对称要素种类及各种对称要素的数目是不尽相同的，在晶体中可以只有单独的一个对称要素，也可以由若干个对称要素共存，即对称型的表现是不同的。根据晶体对称的特点，以对称型作为晶体分类的基本单元，可以对晶体进行合理的科学分类。首先，把属于同一对称型的晶体归为一类，在一切晶体的宏观对称中，只有32种对称型;其次，依据高次对称轴的有无以及高次对称轴数目的多少，将32个对称型分别归属于7个晶系，并根据晶系的各自特征分别归纳为低级、中级和高级3个晶族(表2－2)。

表2－2 32种对称型和晶体的对称分类

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**矿物中常见的对称型;*矿物中较常见的对称型;+矿物中尚未发现的对称型。(据罗谷风，1993)

什么是对称型超级电容器

对称超级电容器即两个极板电极材料一致的电容器。比如两个电极都用碳材料，即为碳-谈对称超级电容器

各对称型中对称要素的空间分布

在晶体定向的基础上，我们现在给出32 个对称型中各对称要素在所建立的坐标系中的空间分布及赤平投影图，并且还给出了每个对称型的一般形单形形态图，见表4-2。

对于表4-2需做几点说明：

（1）表中示出了对称轴及对称面的共轭或不同共轭类（conjugate or non-conjugate）。所谓不同共轭类，是指在同一对称型中的同一种类的对称要素（即都是同种对称轴，或对称面），它们之间不能通过对称型中其他对称要素的操作而相互重合（或复制）；相反，所谓同一共轭类，就是指在一个对称型中，相同的、且能通过对称型中其他对称要素的操作而相互重合（复制）的对称要素类，因此，同一共轭类的对称要素是完全等同的对称要素。

（2）表中也标出了极轴，所谓极轴（polar axis），是指不能通过对称型中对称要素的操作而使两端重合的轴。凡是含极轴的对称型都是无对称中心的。极轴是一个非常重要的概念，晶体中极轴的分布和数量直接影响到晶体的工业应用。在表3-5中所列的压电类晶体都是含有一个或几个极轴的对称型，而热释电类晶体是只含有一个极轴的对称型，有关压电性、热释电性，我们将在矿物学部分第十四章矿物的物理性质中介绍。由表4-2 可见，极轴是直接与晶体的对称型（点群）有关的，只要对称型已知，该晶体是否有极轴、极轴在什么方位分布就都已确定。

（3）表中还给出了每个对称型的一般形单形形态，有关单形的概念我们下一章才介绍，但在这里必须强调指出，不能根据该单形的几何形态确定该一般形单形的对称型，例如：在表 4-2 中，L3 C 这个对称型的一般形是菱面体，但从菱面体这个几何形态上找出的对称型应该是 L33L23PC，而不是 L3C，造成表4-2中的菱面体的对称型为 L3 C 而不是L33 L23 PC 的原因，是因为不仅考虑了这个菱面体的几何形态，同时还考虑了该菱面体的内部结构。

个对称型（点群）及其推导

晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶体形态的对称型（class of symmetry）或点群（point group）。一般来说，当强调对称要素时称对称型，强调对称操作时称点群，因为在晶体形态中，全部对称要素相交于一点（晶体中心），在进行对称操作时至少有一点不移动，并且各对称操作可构成一个群，符合数学中群的概念（见第六章），所以称为点群。对称型与点群是一一对应的。

根据晶体形态中可能存在的对称要素及其组合规律，推导出晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅有32种（表3-2）。这32个对称型（点群）的推导方法可以根据上述对称要素组合定理，直观地推导出来。

首先回顾一下晶体形态上可能存在的对称要素，它们是：对称轴L1、L2、L3、L4、L6；对称面 P；对称中心 C；旋转反伸轴+C，=L 3+P⊥。

为了便于推导，我们把这些对称要素的组合分为两类：把高次轴不多于一个的组合称为A类；把高次轴多于一个的组合称为B类。

1.A类对称型的推导

上列对称要素可能的组合共有以下7种情况：

（1）对称轴Ln单独存在，可能的对称型为L1；L2；L3；L4；L6。

表3-2 正多边形可能围成的正多面体及其对称轴的组合

图3-12 Ln与L2的组合

（2）对称轴与对称轴的组合。由于A 类只包括高次轴不多于一个的对称型，所以只考虑 Ln 与L2 的组合，如果 L2 与Ln斜交仍有可能出现多于一个的高次轴，如图3-12（a）L2 与 Ln 斜交，则 Ln围绕L2 旋转 180°，必将产生另一个 Ln；而如图3-12（b）当 L2 垂直 Ln 时则不会产生新的Ln。因此在这里我们只考虑 Ln与垂直它的L 2 的组合。根据上节所述对称要素组合规律，可能的对称型为：（L1 L2=L2）；L22 L2=3 L2；L33 L2；L44 L2；L66 L2。（括号内的对称型与其他项推导出的对称型重复，下同。）

（3）对称轴Ln与垂直它的对称面P的组合。考虑到组合定理Ln（偶）×P⊥→Ln（偶）P⊥C，则可能的对称型为：（L1 P=P）；L2 PC；（L3 P=）；L 4 PC；L 6 PC。

（4）对称轴Ln与包含它的对称面的组合。根据组合定理Ln×P∥→LnnP∥，可能的对称型为：（L1P=P）；L22P；L33P；L44P；L66P。

（5）对称轴 Ln 与垂直它的对称面以及包含它的对称面的组合。垂直 Ln 的P 与包含Ln 的P 的交线必为垂直Ln 的L2 （图3-13），即 Ln ×P⊥ ×P∥→Ln ×P⊥×P∥×→LnnL2 （n+1）P（C）（C 只在有偶次轴垂直P 的情况下产生），可能的对称型为：（L1L22P=L22P）；L22L23PC=3L23PC；（L33L24P=）；L44 L25 PC；L66 L27 PC。

图3-13 Ln与P 的组合

（a）（b）P包含Ln、垂直Ln都不产生新的Ln；（c）Ln与两个P组合（一个P包含Ln，另一个P垂直Ln，则这两个P互相垂直将在两P交线上产生一个L2；（d）P与Ln斜交将产生新的Ln

（6）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型为：=C；=P；=L3 C；=L3 P⊥。

（7）旋转反伸轴与垂直它的L2 （或包含它的 P）的组合。根据组合定理，当 n 为奇数时会产生，可能的对称型为：=L 2 PC）；=L33 L23 PC；当 n 为偶数时会产生（n/2）（n/2）P∥，可能的对称型为：（=L22 P）；；=L33 L24 P。

由于对称面 P=，对称中心 C=，故不再单独列出。

综合以上，共推导出 A 类对称型27种（见表3-3）。

2.B类对称型的推导

首先让我们考虑高次轴 L4 与 L3 的组合。如图3-14所示，设有一个 L4 与 L3 相交于晶体中心，由于 L4 的作用，在 L4 的周围可获得4个 L3。在每个 L3 上距晶体中心等距离的地方取一个点，连结这些点可以得到一个正四边形（即图 3-14 中的立方体的正方形的面），L4 出露于正四边形的中心，L3 出露于正四边形的角顶。由于 L3 的作用，在 L3 的周围必定可以获得3个正四边形，它们会集而成一个凸三面角，L3 即出露于这个凸三面角的角顶上。这样，我们就获得了一个由 6 个正四边形和 8 个凸三角组成的正多面体———立方体。高次轴 L4 与 L3 的组合就相当于正四边形所组成的正多面体———立方体中高次轴的组合。

由此可知，在B类对称型中，高次轴Ln与Lm的组合，相当于由正多边形所组成的正多面体中的高次轴的组合。

在立体几何学中业已证明，一个凸多面角至少须由3 个面组成，且其面角之和须小于360°。因此围成正多面体的正多边形只可能是正三角形（内角60°）、正方形（内角90°）和正五边形（内角108°）。它们可能围成的正多面体及其所具有的对称轴的组合如表3-2所列。

图3-14 L4与 L3的组合图解

从表3-2 可以看出，正三角十二面体和正五角十二面体皆具有 L5，与晶体的对称不符，可不予考虑。其余3种多面体中对称轴的组合有下面两种类型：①立方体及八面体3 L44 L36 L2；②四面体3 L24 L3。

在***种对称型3L44L36L2中加入一个不产生新对称轴的对称面，可以获得如下的第3种对称型：③3L44L36L29PC。

在上述第二种对称型3L24L3中加入不产生新对称轴的对称面的方法有二，其一是垂直L2的对称面，其二是与两个L2等角度（45°）斜交的对称面，其结果可分别获得如下的第4种和第5种对称型：④3 L24 L33 PC；⑤。

属于B类的对称型共有上列的5种。

综合 A、B 两类，晶体中可能有的对称型共32种，如表3-3所列。

表3-3 32种对称型的推导

对称型的国际符号及申弗利斯符号

前面我们给出的对称型符号为一般符号，也称对称型的全面符号，在这种符号中，按一定顺序将对称型中所有的对称要素都书写出来，不管方向性，且比较烦琐，但对初学者来说比较容易接受，所以我们先介绍这种一般符号。下

表4-2 32个对称型中对称要素、一般形及其极射赤平投影

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为水平极

面我们要介绍两种对称型的其他符号，这两种符号都以很简单的方法表示32个对称型。

1.国际符号

国际符号是一种比较简明的符号，它既表明了对称要素的组合，也表明了对称要素的方位。所以在了解对称型的国际符号之前，必须要熟练掌握晶体定向的空间概念。

国际符号中以1、2、3、4、6和分别表示各种轴次的对称轴和旋转反伸轴。以 m 表示对称面。若对称面与对称轴垂直，则两者之间以斜线或横线隔开，如 L 2 PC 以2/m（或表示，L4PC 以4/m（或）表示。对称型的完整的国际符号中以一定的顺序列出了一定方向上的对称要素，但省略了等同的和派生的对称要素。所谓等同的对称要素，就是同一共轭类的对称要素，即相互之间可以复制的对称要素，在国际符号中，凡在对称型中属于同一共轭类的对称要素，不管有几个，只写一个就行了；所谓派生的对称要素，就是指有些对称要素是通过其他对称要素的组合而产生出来的，这个产生出来的对称要素在国际符号中也可省略。其实，同一共轭类的对称要素是可以通过对称操作而相互重合的，所以同一共轭类对称要素也可以理解为相互派生的，但有些派生的对称要素却不一定是共轭的，例如：2 与 m 共存派生出，与2、m 不是共轭的，但在国际符号中就省略了。所以，综合上述，在对称型的国际符号中凡是可以派生出来的对称要素都可省略。

在国际符号中有1～3 个序位，每一序位中的一个对称要素符号可代表一定方向的、可以互相派生（或复制）的多个对称要素。现将各晶系国际符号中各序位所代表的方向列于表4-3。

32个对称型的国际符号列于表3-4，各晶系晶体定向及国际符号序位见图4-2。

2.申弗利斯（Schoenflies）符号

这种符号也是以一种简单形式表示对称要素的组合方式。

（1）Cn，表示Ln，如C1，C2，C3，C4，C6分别表示L1，L2，L3，L4，L6。

（2）Cnh（h——水平的），表示Ln×P⊥→LnP⊥（C）组合，C1h，C2h，C3h，C4h，C6h分别表示P，L2PC，L3P），L4 PC，L6 PC。

（3）Cnv（v——直立的），表示Ln×P∥→LnnP∥组合，如C2v、C3v、C4v、C6v分别表示L22P、L33P、L44P、L66P。

表4-3 各晶系对称型的国际符号中各序位所代表的方向

（4）Dn ，表示 Ln ×→LnnL2 组合，如 D2、D3、D4、D6 分别表示 L22 L2（3 L2）、L33 L2、L44 L2、L66 L2。

（5）Dnh ，表示 Ln ××P⊥→LnnL2 （n+1）P（C）组合，如 D2h、D3h、D4h、D6h分别表示3L23PC、L33L24P（3L23P）、L44L25PC、L66L27PC。

（6）Dnd（d——对角线的），表示对称轴、二次轴和对称面的组合，但对称面不包含 L2 而位于对称面之间平分对称面夹角，如 D2d代表，D3 d代表L33 L23 PC。

（7）i（反伸），Ci 表示=C，C3i表示=L3 C。

（8）S（反映），Cs 表示=P，S2 代表=C，S4 代表，S6 代表=L3 C=C3i。

（9）V，代表D2，即V=D2，Vh=D2h，Vd=D2d。

（10）T，代表四面体中对称轴的组合3L24L3，Th代表3L24L3中加入了水平对称面获得3L24L33PC，Td代表3L24L3中加入了平分L2夹角的对称面获得。

（11）O，代表八面体中对称轴的组合 3L44L36L2，Oh 代表 3L44L36L2 中加入了水平对称面获得3 L44 L36 L29 PC。

图4-2 各晶系晶体定向及国际符号序位

32个对称型（点群）的申弗利斯符号见表3-4。

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