正七边形.正十一边形.正十三边形用尺规作图作的出么?

正七边形.正十一边形.正十三边形都不能。

早在公元前三世纪，希腊数学家欧几里得就知道，用圆规和直尺可以作出正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形等等。但能不能作出正七边形、正九边形、正十一边形、正十三边形、正十七边形呢？两千年来，谁也没有作到。可是一直有很多数学家在试作。数学家们认为总是能作出来的，谁也没有想一想或许用圆规和直尺根本作不出某些正多边形。

1796年3月30日德国戈丁根大学学生高斯用圆规和直尺，作出了正17边形。这下子解决了两千年来的一大难题。这是一个十分了不起的成就，还不满20岁的高斯，不仅作出了正十七边形，更可贵的是他还证明了单用圆规和直尺根本作不出正七边形、正九边形、正十一边形和正十四边形。他深入研究了多边形的规律，得出一个一般公式，清清楚楚地表示出哪些正多边形能作，哪些正多边形不能作。高斯就是这样，圆满周密地彻底解决了两千年来的一大难题。

这位了不起的青年学生，后来成了18、19世纪交替时期德国最杰出的数学家。

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早在古希腊时代，人们就能够用直尺和圆规作出正三角形、正四边形、正五边形和正十五边形（以及它们的2n倍的正多边形），但对其它一些正多边形，如正七边形、正十一边形、正十三边形、正十七边形应当如何作图的问题，却长期困扰着数学家们。

1796年，正在哥廷根大学读书的19岁的高斯成功地给出了正十七边形的尺规作图法。不仅如此，后来他还证明了：对于边数是质数的正多边形，当且仅当其边数是形如2exp(2exp(n))+1的费尔玛质数时，才能用尺规作图。(exp表示指数)

这就是说，正七边形、正十一边形、正十三边形是不能用尺规作出的，因为7、11、13不是费尔玛质数，但是能作出正十七边形。高斯的成果解决了困扰人们两千多年的几何问题，震撼了全世界。

17以后的费尔玛质数是257和65537。后来有人真的给出了正257边形尺规作图法，长达80多页！一位名叫盖尔美斯的用尺规作出了正65537边形，其手稿有整整一只手提箱，现在还保存在哥廷根大学。

如何手工画正多边形

首先需要的工具有：画图纸、铅笔、橡皮、直尺、三角尺、量角器、圆规。

接下来在画图纸上中心处任取一点作为该正多边形的形心。

再根据正多边形的边线个数（n）计算其相邻顶点与形心连线组成夹角的读数（360°÷n）。

用量角器画出每个顶点与形心之间的连线（ln）。

用圆规以形心为圆心，任意长（半径可根据要求用直尺量取）为半径画圆，使得圆与所有ln相交。

将相邻交点连接，就得到正多边形。

正65537边形的介绍

假定边长为1厘米，65537边形的周长为65537厘米，这个数字与园周长相当接近。先假设二者相等，则圆的半径为65537/2x3.14=10435.8(cm)=104.358(m)。可见，如果有够大的场地，是可以作出边数大于正65537边形的图形。否则，仅仅是理论上可以，实际上不行。

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